Relações Métricas no Triângulo Retângulo

Para entender esse assunto, teremos que ter por base o assunto Teorema de Tales, pois são parecidos nas formulas e em alguns itens!

Pois bem. Não é nada dificil e basta apenas um pouquinho de compreensão... MÃOS A OBRA!


OBSERVE A IMAGEM:













*Vamos analisar da seguinte forma:

• c -> é um cateto.
• m -> Iremos chamar 'm' de projeção ou sombra do cateto c. Analisando o fato de ela estar numa posição em frente ao c.
• b -> é um cateto.
• n -> Iremos chamar 'n' de projeção ou sombra do cateto b. Pois analisando o fato de 'n' esta numa posição em frente ao 'b', ele se classifica como sombra.
• a ou H -> é a hipotenusa do triangulo.
• h -> Iremos chamar de altura do triangulo.

OBS: Cuidado para não confundir 'h' com hipotenusa, porque geralmente essas letras aparecem diferentes mas traduzindo a mesma coisa. Cabe a nós analisar quem é quem como eu fiz acima!

**recapitulando**

=> c > cateto e tem como sombra > m.
=> b > cateto e tem como sombra > n.
=> a > hipotenusa.
=> h > Altura do triangulo.


- A peimeira parte está concluída que é descobrir "quem é quem".
- Agora vamos aprender 4 fórmulas que deverão ser guardadas pois são esenciais, assim como a formula de bhaskara, ou a formula do teorema de pitágoras.

FORMULAS

•Catetos:

c² = m . a -> o quadrado do cateto será igualado a hipotenusa vezes a sua sombra.
b² = n . a -> o quadrado do cateto será igualado a hipotenusa vezes a sua sombra.

• Hipotenusa e Altura

h² = m . n -> para saber o valor de altura, ela terá que ser igualada a multiplicação das duas projeções (sombras).

c . b = h . a -> Essa formula é especial pois serve para descobrir diversos valores como altura, hipotenusa ou catetos. Dependerá muito de quais sejam os valores ja existentes para que se possam achar os outros valores. Geralmente essa formula é usada para encontrar a hipotenusa, pelo fato dos outros ja possuirem suas formulas apropriadas.


Ja sabemos as formulas, vejamos o exemplo:












• Vamos achar os valores que faltam usando as formulas:
OBS* - teremos que analisar a figura e averiguar quais as formulas necessarias.

6² = 4 . a
36 = 4a
a = 36/4
a = 9

m = a - 4
m = 9 - 4
m = 5

b² = 5 . 9
b² = 45
b = √45
b = √3².5
b = 3√5

h² = 5 . 4
h² = 20
h = √20
h = √2².5
h = 2√5


Viram como é simples? Não existe segredo, apenas prática e formulas!

Vamos ver mais um exemplo:









Nesse exemplo há questão de interpretação. Nós temos os valores de m e n. Que coisa boa em? Sabemos então que 6 + 8 (sombras) = 14 (hipotenusa). Vamos resolver

a² = 6 . 14
a² = 84
a = √2².3.7
a = 2√21

b² = 8 . 14
b² = 112
b = √2².2².7
b = 4√7

h² = 6 . 8
h² = 48
h = √2².2².3
h = 4√3

EASSIM NÓS ACHAMOS TODOS OS VALORES DESCONHECIDOS. cOMO PODEM PERCEBER É FÁCIL E BASTA APENAS UM POUCO DE PRÁTICA!

** BONS ESTUDOS**

Teorema de Pitágoras

Bom nós antes de começarmos a falar do assunto, vamos saber um pouco sobre esse matemático histórico chamado Pitágoras.

Bem, Pitágoras de Samos (do grego Ο Πυθαγόρας ο Σαμιος) foi um filósofo e matemático grego que nasceu em Samos entre cerca de 570 a.C. e 571 a.C. e morreu em Metaponto entre cerca de 496 a.C. ou 497 a.C.Pitágoras foi o fundador de uma escola de pensamento grega denominada em sua homenagem de pitagórica. Teve como sua principal mestra, a filos ofa e matemática Temstocléia.

Agora vamos ao assunto. O Teorema de Pitágoras é uma relação matemática entre os três lados de qualquer triângulo rectângulo,no Teorema de Pitágoras os lados do triângulo recebe nomes que são os Catetos que são os dois lados menores e a Hipotenusa que é o maior lado e fica em frente ao ângulo de 90°graus, veja a imagem abaixo.










A formula desse assunto é assim



Vamos fazer agora um exercício com usando esta formula.

Neste triângulo retangulo tem a hipotenusa de valor 10 e catetos de valores
6 e x.Vamos isolar a hipotenusa da mesma forma que esta a formula acima, mas como a hipotenusa é 10 e não uma icognita vamos isolar o 10 no outro lado pois nesse caso a ordem dos fatores não altera o produto.

x² + 6² = 10²
x² + 36 = 100
x² = 100-36
x² = 64
x = √64
x = 8

Pronto está feito agora vamos ver se está certo mesmo vamos substituir o x por 8 (pois 8 foi o valor de x). Irá fica assim:

8² + 6² =10²
64 + 36 = 100
100 = 100 -> VERDADEIRO

NOSSA RESPOSTA ESTÁ CERTA.


•VEJAMOS OUTRO EXEMPLO:















x² + 8² = 10²
x² + 64 = 100
x² = 100 - 64
x² = 36
x = √36
x = 6

Semelhança de Triângulos

Iremos analisar triângulos das mais variadas formas, em sua correspondencia.



















Os angulos acima são todos congruentes e os lados correspondentes, portanto eles são semelhantes. Veja que seus lados iguais possuem a mesma medida.


Existem casos em que deve-se armar uma proporção para descobrir se os triangulos são semelhantes, ou uma icógnita. Nesse caso iremos analisar os angulos que são congruentes e deveremos armar a proporção com os lados correspondentes do triangulo.

Bem, é isso! Pratiquem e formem as proporções dos lados corretamente. Para isso não se engane com as posições do triangulo. Inverta as posições das maneiras mais lógicas ou se baseie pela medida dos angulos.


••• Bons Estudos •••


Assuntos Pré-requisitos:
- As 4 Operações
- Potenciação
- Números Fracionários
- Potencia com expoente fracionario
- Radiciação: Operação com radicais e Simplificação de radicais
- Razão e Proporção
- Grandezas proporcionais
- Equações do 1º grau
- Equações do 2º grau, literarias, irracionais, biquadradas.
- Teorema de Tales.
- Teorema de Tales no Triângulo
- Semelhança de Polígonos

Polígonos Semelhantes

Bem pessoal esse assunto não é nada difícil, basta só prestar atenção

Polígono semelhantes são dois polígono com o mesmo número de lados, sendo possível fazer uma correspondência entre seus vértices, onde os ângulos correspondentes são congruentes e os seus lados são proporcionais. Então observe esse dois quadrilateros

• Os Angulos correspondentes são:

Para os lados serem correspondentes eles tem que dar o mesmo resultado. Vejamos:

2,0/3,2 = 0,625
3,0/4,8 = 0,625


AB/A'B' ou 3,8/5,7 = 066
BC/B'C' ou 4/6 = 066
CD/C'D' ou 2,4/3,6 = 066
DA/D'A' ou 2/3= 066

Se os angulos forem congruentes e os lados forem correspondentes (iguais) com a mesma razão de semelhança, os polígonos serão semelhantes.

Essa é a definição do assunto, angulos congruentes, verificar a correspondencia dos lados e a semelhança dos polígonos!

••• Bons Estudos •••

Assuntos Pré-Requisitos:
- As 4 Operações
- Potenciação
- Números Fracionários
- Números decimais
- Razões e Proporções

Teorema de Tales no Triângulo

O assunto ainda é Teorema de Tales, porém tem uma diferença: É no triangulo.

Como assim?

Veja na figura abaixo:







• O segmento DE é Paralelo a BC, portanto a proporção vai ser:

















Viu como é fácil a resolução??
É a mesma coisa, iremos seguir apenas as tranversais e armar as proporções, analisando também os segmentos paralelos. Só temos que tomar cuidado para não armar as proporções de maneira errada!


•VEJAMOS OUTRO EXEMPLO:




















PARA O VALOR DE x SÓ IREMOS USAR O '2', pois valores como '0' ou valores 'menores do que 0' não são aceitos como segmentos. Afinal não existem segmentos NEGATIVOS ou com valores NEUTROS. FIQUE ATENTO NISSO!!

Pois bem, o assunto é esse. Bem simples não é? E se você estudar mais, será ainda mais simples!!

••• Bons Estudos •••



ASSUNTOS Pré Requisitos: Necessarios para entender Teorema de Tales no triângulo

- As 4 Operações
- Potenciação
- Números Fracionários
- Potencia com expoente fracionario
- Radiciação: Operação com radicais e Simplificação de radicais
- Razão e Proporção
- Grandezas proporcionais
- Equação do 1º grau
- Equações do 2º grau, literarias, irracionais, biquadradas.

Teorema de Tales

Os feixes de retas paralelas cortadas ou intersectadas por segmentos transversais formam segmentos de retas proporcionalmente correspondentes.

Veja na imagem:















ONDE:






•E assim iremos construir as proporções de acordo com as mesmas transversais que atravessas as paralelas:














Determinando o valor de x:














Verificando se está certo:
2x – 3 --> 2.4 – 3 = 5
x + 2 --> 4 + 2 = 6


*VEJAMOS OUTRO EXEMPLO:

• Descubra o valor de x:





















COMO VOCÊS PODEM VER É UM ASSUNTO MUITO FÁCIL, QUE ENVOLVE PROPORÇÕES...

••• Bons Estudos •••



ASSUNTOS Pré Requisitos: Necessarios para entender Teorema de Tales

- As 4 Operações
- Potenciação
- Números Fracionários
- Potencia com expoente fracionario
- Radiciação: Operação com radicais e Simplificação de radicais
- Razão e Proporção
- Grandezas proporcionais
- Equação do 1º grau
- Equações do 2º grau, literarias, irracionais, biquadradas.

Função do 2º grau

É toda função que possui a forma ax² + bx + c = 0, a≠0 b e c VR. Também chamada de função quadratica.
ex: x² - 5x + 6 = 0
a = 1 / b = -5 / c = 6

CONCAVIDADES DO GRÁFICO:

∆ > 0 - A equação do segundo grau possui duas raizes reais distintas e consequentemente a função também tera duas raizes distintas.










∆ = 0 - A equação do 2º grau terá apenas uma raiz real e consequentemente a parábola tocara o eixo das abscissas em apenas um ponto.










∆ > 0 - A equação do 2º grau não possui raizes reais, portanto a parábola não toca as abscissas.










COORDENADAS DO VÉRTICE:

• Para descobrir as cordenasas do vertice de um gráfico da função, iremos usar as formulas -> Xv = -b/2a Yv = -∆/4a

EX: y = x² + 6x + 8
Xv = -6/2.1
Xv = -3

∆ = (6)² - 4 . 1 . 8
∆ = 36 - 32 = 4
Yv = -4/4.1
Yv = -1
V = (-3,-1)


VEJA MAIS EX:

•y = x² - 4x + 3 = 0
Xv = 4/2.1
Xv = 2
∆ = (-4)² - 4 . 1 . 3
∆ = 16 - 12 = 4
Yv = -4/4 = -1
V = (2,-1)

•y = -x² + 8x - 15
Xv = -8/2.(-1)
Xv = 4
∆ = (8)² - 4. -1. -15
∆ = 64 - 60 = 4
Yv = -4/-4
Yv = 1
V = (4,1)

•y = x² - 2x - 8
Xv = 2/2.1
Xv = 1
∆ = (-2)² - 4 . 1 . -8
∆ = 4 + 32 = 36
Yv = -36/4
Yv = -9
V = (1,-9)

•y = -4x² + 6x
Xv = -6/2.(-4)
Xv = -6/-8
Xv = 3/4
∆ = (6)² -4 . -4 . 0
∆ = 36
Yv = -36/-16
Yv = 9/4
V = (3/4,9/4)

•y = -x² + 36
Xv = 0/-2
Xv = 0
∆ = (0)² - 4 . -1 . 36
∆ = 0 + 144 = 144
Yv = -144/-4
Yv = 36
V = (0,36)


ZERO DA FUNÇÃO E ESBOÇO

Para calcular o zero da função teremos que igualar a equação a zero.
Ex: y = x² - 10x + 21
x² - 10x + 21 = 0 -> Pronto, encontramos uma equação do segundo grau agora é so resolver e achar os zeros da função.

∆ = (-10)² - 4 . 1 . 21
∆ = 100 - 84 = 16

x = 10±4/2
x' = 6/2 = 3
x'' = 14/2 = 7

Portanto os zeros da função são 3 e 7

O(s) zero(s) da função irão tocar as abiscissas, e para representar isso, chamaremos de Esboço.

•Esboço do zero da função acima:










•Lembre-se das regras da concavidade do gráfico.



**RESPONDA QUESTÕES SOBRE O ASSUNTO NA LISTA DE EXERCÍCIO.**


PONTO MÁXIMO E PONTO MÍNIMO:

Para descobrir o ponto máximo e o mínimo de uma função do segundo grau, basta caucular as coordenadas do vertice. EX:

y = x² - 2x + 1 -> Calculando as formas de Xv e Yv como vista em exemplos acima achamos (1,0)
*VEJAMOS AGORA A REPRESENTAÇÃO DO GRÁFICO:





















a > 0 - a concavidade da parábola é voltada para cima, tendo assim um ponto mínimo (1).

y = -x² -x + 3 -> Calculando as formas de Xv e Yv achamos (-13/-4,-1/2)

*VEJAMOS AGORA A REPRESENTAÇÃO DO GRÁFICO:






















a < 0 - concavidade da parábola voltada para baixo, portanto ponto máximo (3,25)


*TALVEZ não seja totalmente necessário calcular as coordenadas do vértice para saber se é ponto mínimo ou ponto máximo. Só foi feito o calculo acima para fazer a demonstração do gráfico. Basta verificar o 'a' da equação para saber se é mínimo ou máximo:

•y = x² - 5x
a > 0 - concavidade voltada para cima, portanto Ponto Mínimo.


•y = -x² + 9
a < 0 - concavidade voltada para baixo, portanto Ponto Máximo.


•y = x² - 4x - 5
a > 0 - concavidade voltada para cima, portanto Ponto Mínimo.

• y = x² + x + 1/4
a > 0 - concavidade voltada para cima, portanto Ponto Mínimo.

•y = -x² + x
a < 0 - concavidade voltada para baixo, portanto Ponto Máximo.


**** ...TESTE SEUS CONHECIMENTOS NA LISTA DE EXERCICIOS... ****




ASSUNTOS Pré Requisitos: Necessarios para entender Função do 2º grau
- As quatro operações
- As quatro operações com números inteiros
- Produtos Notáveis
- Potenciação
- Equações do 1º e 2º grau
- Noções de função e gráficos
- Função do 1º grau