Função do 2º grau

É toda função que possui a forma ax² + bx + c = 0, a≠0 b e c VR. Também chamada de função quadratica.
ex: x² - 5x + 6 = 0
a = 1 / b = -5 / c = 6

CONCAVIDADES DO GRÁFICO:

∆ > 0 - A equação do segundo grau possui duas raizes reais distintas e consequentemente a função também tera duas raizes distintas.










∆ = 0 - A equação do 2º grau terá apenas uma raiz real e consequentemente a parábola tocara o eixo das abscissas em apenas um ponto.










∆ > 0 - A equação do 2º grau não possui raizes reais, portanto a parábola não toca as abscissas.










COORDENADAS DO VÉRTICE:

• Para descobrir as cordenasas do vertice de um gráfico da função, iremos usar as formulas -> Xv = -b/2a Yv = -∆/4a

EX: y = x² + 6x + 8
Xv = -6/2.1
Xv = -3

∆ = (6)² - 4 . 1 . 8
∆ = 36 - 32 = 4
Yv = -4/4.1
Yv = -1
V = (-3,-1)


VEJA MAIS EX:

•y = x² - 4x + 3 = 0
Xv = 4/2.1
Xv = 2
∆ = (-4)² - 4 . 1 . 3
∆ = 16 - 12 = 4
Yv = -4/4 = -1
V = (2,-1)

•y = -x² + 8x - 15
Xv = -8/2.(-1)
Xv = 4
∆ = (8)² - 4. -1. -15
∆ = 64 - 60 = 4
Yv = -4/-4
Yv = 1
V = (4,1)

•y = x² - 2x - 8
Xv = 2/2.1
Xv = 1
∆ = (-2)² - 4 . 1 . -8
∆ = 4 + 32 = 36
Yv = -36/4
Yv = -9
V = (1,-9)

•y = -4x² + 6x
Xv = -6/2.(-4)
Xv = -6/-8
Xv = 3/4
∆ = (6)² -4 . -4 . 0
∆ = 36
Yv = -36/-16
Yv = 9/4
V = (3/4,9/4)

•y = -x² + 36
Xv = 0/-2
Xv = 0
∆ = (0)² - 4 . -1 . 36
∆ = 0 + 144 = 144
Yv = -144/-4
Yv = 36
V = (0,36)


ZERO DA FUNÇÃO E ESBOÇO

Para calcular o zero da função teremos que igualar a equação a zero.
Ex: y = x² - 10x + 21
x² - 10x + 21 = 0 -> Pronto, encontramos uma equação do segundo grau agora é so resolver e achar os zeros da função.

∆ = (-10)² - 4 . 1 . 21
∆ = 100 - 84 = 16

x = 10±4/2
x' = 6/2 = 3
x'' = 14/2 = 7

Portanto os zeros da função são 3 e 7

O(s) zero(s) da função irão tocar as abiscissas, e para representar isso, chamaremos de Esboço.

•Esboço do zero da função acima:










•Lembre-se das regras da concavidade do gráfico.



**RESPONDA QUESTÕES SOBRE O ASSUNTO NA LISTA DE EXERCÍCIO.**


PONTO MÁXIMO E PONTO MÍNIMO:

Para descobrir o ponto máximo e o mínimo de uma função do segundo grau, basta caucular as coordenadas do vertice. EX:

y = x² - 2x + 1 -> Calculando as formas de Xv e Yv como vista em exemplos acima achamos (1,0)
*VEJAMOS AGORA A REPRESENTAÇÃO DO GRÁFICO:





















a > 0 - a concavidade da parábola é voltada para cima, tendo assim um ponto mínimo (1).

y = -x² -x + 3 -> Calculando as formas de Xv e Yv achamos (-13/-4,-1/2)

*VEJAMOS AGORA A REPRESENTAÇÃO DO GRÁFICO:






















a < 0 - concavidade da parábola voltada para baixo, portanto ponto máximo (3,25)


*TALVEZ não seja totalmente necessário calcular as coordenadas do vértice para saber se é ponto mínimo ou ponto máximo. Só foi feito o calculo acima para fazer a demonstração do gráfico. Basta verificar o 'a' da equação para saber se é mínimo ou máximo:

•y = x² - 5x
a > 0 - concavidade voltada para cima, portanto Ponto Mínimo.


•y = -x² + 9
a < 0 - concavidade voltada para baixo, portanto Ponto Máximo.


•y = x² - 4x - 5
a > 0 - concavidade voltada para cima, portanto Ponto Mínimo.

• y = x² + x + 1/4
a > 0 - concavidade voltada para cima, portanto Ponto Mínimo.

•y = -x² + x
a < 0 - concavidade voltada para baixo, portanto Ponto Máximo.


**** ...TESTE SEUS CONHECIMENTOS NA LISTA DE EXERCICIOS... ****




ASSUNTOS Pré Requisitos: Necessarios para entender Função do 2º grau
- As quatro operações
- As quatro operações com números inteiros
- Produtos Notáveis
- Potenciação
- Equações do 1º e 2º grau
- Noções de função e gráficos
- Função do 1º grau

Equações Biquadradas

*IMPORTANTE:

devido a dificulda de digitar no blog potencias de expoente (4,5,6,7...) estaremos colocando dessa forma -> ("^" significa elevado) ex: 5^4 (5 elevado a 4...)No mais os expoentes 1, 2 e 3 continuaram nas formas normais...


Como assim Equação Biquadrada? É toda equação que tem essa forma: ax^4 + bx² + c = 0
Sendo que a ≠ 0, b e c numeros reais.

Para melhor compreensão veja no exemplo abaixo como essa transformação acontece e como chegamos às raízes da equação biquadrada.
x^4 – 10x² + 9 = 0 → equação biquadrada
(x²)² – 10x² + 9 = 0 → a equação biquadrada também pode ser escrita assim.

Dessa forma vamos substituir as variáveis x² por y ex:

y² – 10y + 9 = 0 → agora resolvemos essa equação do 2º grau encontrando y' e y''

∆ = (-10)² – 4 . 1 . 9
∆ = 100 – 36 = 64

x = -(-10) ± √64/2 . 1

x' = 10 + 8/2
x' = 18/2
x' = 9

x'' = 10 - 8/2
x'' = 2/2
x'' = 1

Achados y' e y'', agora vamos novamente substitui-los por x²

• y = 9 | • y = 1
x² = 9 | x² = 1
x = ±√9 | x = ±√1
x = ±3 | x = ±1
S = {-3,-1,1,3}

Nesse novo tipo de equação iremos ter em alguns casos 1,2,3,4 ou até mais soluções!



VEJA MAIS EXEMPLOS:

x^4 - 5x² + 4 = 0
y² - 5y + 4 = 0
- Agora resolvemos a equação do 2º grau atravez de bháskara achando y' e y''
y' = 1
y'' = 4
*Substituindo y por x²
x² = 1 | x² = 4
x = ±√1 | x = ±√4
x = ±1 | x = ±2
S = {-2,-1,1,2}


x^4 + 5x² - 36 = 0
y² + 5y - 36 = 0
- Agora resolvemos a equação do 2º grau atravéz de bháskara achando y' e y''
y' = 4
y'' = -9
*Substituindo y por x²
x² = 4 | x² = -9
x = ±√4 | x = ±√-9
x = ±2 | RAIZ IMPOSSIVEL
S = {-2,2}


x^4 - 10x² + 9 = 0
y² - 10y + 9 = 0
- Agora resolvemos a equação do 2º grau atravéz de bháskara achando y' e y''
y' = 1
y'' = 9
*Sustituindo y por x²
x² = 1 | x² = 9
x = ±√1 | x = ±√9
x = ±1 | x = ±3
S = {-3,-1,1,3}


x^4 - 6x² + 8 = 0
y² - 6y + 8 = 0
- Agora resolvemos a equação do 2º grau atravéz de bháskara achando y' e y''
y' = 2
y'' = 4
*Substituindo y por x²
x² = 2 | x² = 4
x = ±√2 | x² = ±√4
x = ±√2 | x² = ±2
S = {-2,-√2,√2,2}


9x^4 - 13x² + 4 = 0
9y² - 13y + 4 = 0
- Agora resolvemos a equação do 2º grau atravéz de bháskara achando y' e y''
y' = 4/9
y'' = 1
*Substituindo y por x²
x² = 4/9 | x² = 1
x = ±√4/9 | x = ±√1
x = ±2/3 | x = ±1
S = {-1,-2/3,2/3,1}


ASSUNTOS PRÉ-REQUISITOS -> São assuntos necessarios para entender o assunto acima.
- As 4 operações da matematica (básico)
- Operações com numeros inteiros
- Potenciação
- Numeros Fracionarios
- Potencia com expoente fracionário
- Propriedades do radical
- Mudança de indice
- Simplificação de radicais
- Operações com radicais
- Potencia com radicais
- Equação do 1º grau com uma icognita
- Equação do 2º grau

Equações Irracionais

Para nós é um dos mais práticos assuntos que envolvem equações...

... Bem, equação irracional é toda equação que contém no seu radical uma ou mais icógnitas! Veja EXEMPLOS:

√x = 0

9 + √x+2 = x

Como resolver uma equação irracional:

Muito simples veja a equação:

√x+3 + x = 3

*Primeiro precisamos isolar o radical (se houver mais de um radical, escolha um e isola num dos membros da equação)

√x+3 = 3 - x

* Agora precisamos elevar os dois membros da equação de acordo com o índice do radical ( no caso vamos elevar ao quadrado, pois o radical esta ao quadrado.)

(√x+3)² = (3 - x)² --> [Quadrado pela diferença de dois termos].
x + 3 = 9 - 6x + x²

* Vamos organizar

0 = x² - 6x + 9 - x - 3 =
0 = x² - 7x + 6

OBS: Se na primeira vez que elevarmos a equação ao quadrado, continuar a existir a raiz quadrada, ela deve ser isolada e a equação será novamente elevada ao quadrado quantas vezes forem necessárias até que não exista mais nenhum radical.

* Vamos resolver a Equação atravez da formula de Bháskara



Δ = (-7)² - 4.1.6

Δ = 49 - 24

Δ = 25

x = 7 ±√25/2.1 =

x' = 7+5/2 = 12/2 = 6
x'' = 7-5/2 = 2/2 = 1

Achamos x' e x'', só que ainda não é o bastante, temos que fazer a verificação pois, ainda não sabemos quais os valores verdadeiros, para isso vamos verificar de uma maneira simples, basta substituir a icognita da equação "x" pelo resultado veja:

• verificando x = 1
√1+3 + 1 = 3
√4 + 1 + 3
2 + 1 = 3
3 = 3 -> VERDADEIRO
• verificando x = 6
√6+3 + 6 = 3
√9 + 6 = 3
3 + 6 = 3
9 = 3 -> FALSO

1 é a solução da equação

S = {1}

VEJA MAIS EXEMPLOS:
√x-1 = 3 - x
(√x-1)² = (3 - x)²
x - 1 = 9 - 6x + x²
0 = 9 - 6x + x² - x + 1
0 = x² - 7x + 10 -> equação do 2º grau

Resolvendo atravez de Bhaskara achamos x' = 2 e x'' = 5

*Verificando x = 2:
√2-1 = 3 - 2
√1 = 1
1 = 1 (V)
*Verificando x = 5:
√5-1 = 3 - 5
√4 = -2
2 = -2 (F) S = {2}


4 - x = √x+2
(√x+2)² = (4 - x)²
x + 2 = 16 - 8x + x²
0 = 16 - 8x + x² - x - 2
0 = x² - 9x + 14 -> Equação do 2º grau

Resolvendo atravez de bhaskara achamos x' = 2 e x'' = 7

*Verificando x = 2:
4 - 2 = √2+2
2 = √4
2 = 2 (V)
*Verificando x = 7:
4 - 7 = √7+2
-3 = √9
-3 = 3 (F) S = {2}


√x²-6x+16 = 2√2
(√x²-6x+16)² = (2√2)²
x² - 6x + 16 = 4.2
X² - 6x + 16 - 8 = 0
x² - 6x + 8 = 0 -> Equação do 2º grau

Resolvendo atravez de Bhaskara acharemos x' = 2 e x'' = 4

*Verificando x = 2:
√(2)²-6.(2)+16 = 2√2
√4-12+16 = 2√2
√8 = 2√2
2√2 = 2√2 (V)
*Verificando x = 4
√(4)²-6.(4)+16 = 2√2
√16-24+16 = 2√2
√8 = 2√2
2√2 = 2√2 S = {2,4}


√7x-3 - 1 = x
√7x-3 = x + 1
(√7x-3)² = (x + 1)²
7x - 3 = x² + 2x + 1
0 = x² + 2x + 1 - 7x +3
0 = x² - 5x + 4 -> Equação do 2º grau

Resolvendo atravez de Bhaskara achamos x' = 1 e x'' = 4

*verificando x = 1
√7-3 - 1 = 1
√4 - 1 = 1
2 - 1 = 1
1 = 1 (V)
*Verificando x = 4
√7.(4)-3 - 1 = 4
√28-3 - 1 = 4
√25 - 1 = 4
5 - 1 = 4
4 = 4 (V) S ={1,4}


√x²-9 = √x+11
(√x²-9)² = (√x+11)²
x² - 9 = x + 11
x² - x - 20 =0

Resolvendo atravez de Bhaskara achamos x' = -4 e x'' = 5

*Verificando x = -4
√(-4)²-9 = √-4+11
√16-9 = √7
√7 = √7 (V)
*Verificando x = 5
√(5)²-9 = √5+11
√25-9 = √16
√16 = √16 (V) S = {-4,5}


ASSUNTOS Pré Requisitos: Necessarios para entender equações irracionais
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- Operações com radicais: Adição, subtração
- Multiplicação e divisão com radicais
- Potencia com radicais
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- Noções de soma e produto de equação do 2º grau

Soma e Produto da raizes de uma equação do 2° grau

Ao existirem raízes reais na resolução de equações do 2º grau, podemos relacionar essas raízes: soma (x’ + x”) e produto (x’ . x”).

Vejamos abaixo:


SOMA

Somando as duas raizes x' + X'' = -b/a


PRODUTO

Multiplicando as duas raízes: x' . x'' = c/a


Na verdade soma e produto é outra forma mais eficaz que temos para achar as raizes de uma equação (x' e x").


Por exemplo: Para encontrar a soma e o produto das raizes da equação x² - 7x + 10 = 0 nãó é necessarios que saibamos seu valor, mais sim seus coeficientes.

a = 1
b = -7
c = 10

x' + x'' = -b/a
x'. x'' = c/a
x' + x'' = 7/1
x' . x'' = 10/1

Soma= x' + x'' = 7 Produto = x' . x'' = 10

Portanto a soma = 7 e o produto = 10. Em tentativas podemos encontrar números que multiplicados resultem em 10 e somados resultem em 7. VEJA:


ACHANDO AS RAIZES DE UMA EQUAÇÃO DO 2º GRAU ATRAVEZ DE SOMA E PRODUTO

x² - 5x + 6 = 0 [**OBS: a SOMA (no caso o 5) troca o sinal sempre]

P = +6 / x' . x'' = 2.3 = 6
S = +5 / x' + x'' = 2 + 3 = 5

Veja que em tentativas eu consegui achar dois numeros que multiplicados são 6 e somados são 5.

PORTANTO: x' = 2
x'' = 3


IMPORTANTE: Existem casos especiais em que o Produto da equação vem com sinal negativo, o que significa que os resultados das raizes virão com um sinal positivo, e a outra com um sinal negativo, isso quem dirá será a soma (o sinal da soma ira ser o mesmo do maior numero das raizes) EX:

x² + 2x - 3 = 0

S = -2 (**soma sempre troca o sinal)
P = -3

O numero que pode ser multiplicado e que ao mesmo tempo somado para chegar aos resultados acima são: 3 e 1 (verifique para ter certeza)... Como 3 é o maior numero ele recebera o sinal da Soma ficando: -3, (Relembrando que quando o Produto tem o inal negativo, os resultados serão um negativo e o outro positivo, e quem determinará isso é a Soma):

x' = -3
x'' = 1

x' . x'' = -3 . 1 = -3
x' + x'' = -3 + 1 = -2


VEJA MAIS EX:

x² - 12x + 35 = 0
procurando dois numeros que multiplicados da 35 e somados 12 achei: 5 e 7
5 + 7 = 12
5 . 7 = 35
x' = 5 / x'' = 7

x² - 12x + 36 = 0
procurando dois numeros que multiplicados da 36 e somados 12 achei: 6 e 6
6 + 6 = 12
6 . 6 = 36
x' = 6 / x'' = 6

x² + 13x + 40 = 0
procurando dois numeros que multiplicados da 40 e somados -13 achei: -8 e -5
-8 - 5 = -13
(-8) . (-5) = 40
x' = -8 / x'' = -5

x² -8x + 16 = 0
procurando dois numeros que multiplicados da 16 e somados 8 achei: 4 e 4
4 + 4 = 8
4 . 4 = 16
x' = 4 / x'' = 4



ESCREVER UMA EQUAÇÃO DO 2ºGRAU ATRAVEZ DE SOMA E PRODUTO DAS RAIZES


Dado os valores das raizes:
x' = -8
x'' = 7
x' + x'' = -1
x' . x'' = 56

E a formula:
x² - Sx + P = 0

Então: x² + x - 56 = 0

Para achar uma equação atravez das raizes, é preciso usar a formula dada acima, e caucular a soma e o produto das raízes.

Veja mais ex:

x' = 2
x'' = 3
2 + 3 = 5 / 2 . 3 = 6
Equação: x² - 5x + 6 = 0

x' = 4
x'' = 2
2 + 4 = 6 / 2 . 4 = 8
Equação: x² -6x + 8 = 0

x' = -8
x'' = -5
-8 -5 = -13 / (-8). (-5) = 40
Equação: x² + 13x + 40

x' = -2
x'' = 11
-2 + 11 = 9 / -2 . 11 = -22
Equação: x² -9x - 22 = 0

x' = 6
x'' = 6
6 + 6 = 12 / 6 . 6 = 36
Equação: x² - 12x + 36 = 0



ASSUNTOS PRÉ-REQUISITOS -> São assuntos necessarios para entender o assunto acima.

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