Equações Biquadradas

*IMPORTANTE:

devido a dificulda de digitar no blog potencias de expoente (4,5,6,7...) estaremos colocando dessa forma -> ("^" significa elevado) ex: 5^4 (5 elevado a 4...)No mais os expoentes 1, 2 e 3 continuaram nas formas normais...


Como assim Equação Biquadrada? É toda equação que tem essa forma: ax^4 + bx² + c = 0
Sendo que a ≠ 0, b e c numeros reais.

Para melhor compreensão veja no exemplo abaixo como essa transformação acontece e como chegamos às raízes da equação biquadrada.
x^4 – 10x² + 9 = 0 → equação biquadrada
(x²)² – 10x² + 9 = 0 → a equação biquadrada também pode ser escrita assim.

Dessa forma vamos substituir as variáveis x² por y ex:

y² – 10y + 9 = 0 → agora resolvemos essa equação do 2º grau encontrando y' e y''

∆ = (-10)² – 4 . 1 . 9
∆ = 100 – 36 = 64

x = -(-10) ± √64/2 . 1

x' = 10 + 8/2
x' = 18/2
x' = 9

x'' = 10 - 8/2
x'' = 2/2
x'' = 1

Achados y' e y'', agora vamos novamente substitui-los por x²

• y = 9 | • y = 1
x² = 9 | x² = 1
x = ±√9 | x = ±√1
x = ±3 | x = ±1
S = {-3,-1,1,3}

Nesse novo tipo de equação iremos ter em alguns casos 1,2,3,4 ou até mais soluções!



VEJA MAIS EXEMPLOS:

x^4 - 5x² + 4 = 0
y² - 5y + 4 = 0
- Agora resolvemos a equação do 2º grau atravez de bháskara achando y' e y''
y' = 1
y'' = 4
*Substituindo y por x²
x² = 1 | x² = 4
x = ±√1 | x = ±√4
x = ±1 | x = ±2
S = {-2,-1,1,2}


x^4 + 5x² - 36 = 0
y² + 5y - 36 = 0
- Agora resolvemos a equação do 2º grau atravéz de bháskara achando y' e y''
y' = 4
y'' = -9
*Substituindo y por x²
x² = 4 | x² = -9
x = ±√4 | x = ±√-9
x = ±2 | RAIZ IMPOSSIVEL
S = {-2,2}


x^4 - 10x² + 9 = 0
y² - 10y + 9 = 0
- Agora resolvemos a equação do 2º grau atravéz de bháskara achando y' e y''
y' = 1
y'' = 9
*Sustituindo y por x²
x² = 1 | x² = 9
x = ±√1 | x = ±√9
x = ±1 | x = ±3
S = {-3,-1,1,3}


x^4 - 6x² + 8 = 0
y² - 6y + 8 = 0
- Agora resolvemos a equação do 2º grau atravéz de bháskara achando y' e y''
y' = 2
y'' = 4
*Substituindo y por x²
x² = 2 | x² = 4
x = ±√2 | x² = ±√4
x = ±√2 | x² = ±2
S = {-2,-√2,√2,2}


9x^4 - 13x² + 4 = 0
9y² - 13y + 4 = 0
- Agora resolvemos a equação do 2º grau atravéz de bháskara achando y' e y''
y' = 4/9
y'' = 1
*Substituindo y por x²
x² = 4/9 | x² = 1
x = ±√4/9 | x = ±√1
x = ±2/3 | x = ±1
S = {-1,-2/3,2/3,1}


ASSUNTOS PRÉ-REQUISITOS -> São assuntos necessarios para entender o assunto acima.
- As 4 operações da matematica (básico)
- Operações com numeros inteiros
- Potenciação
- Numeros Fracionarios
- Potencia com expoente fracionário
- Propriedades do radical
- Mudança de indice
- Simplificação de radicais
- Operações com radicais
- Potencia com radicais
- Equação do 1º grau com uma icognita
- Equação do 2º grau