Equações Irracionais

Para nós é um dos mais práticos assuntos que envolvem equações...

... Bem, equação irracional é toda equação que contém no seu radical uma ou mais icógnitas! Veja EXEMPLOS:

√x = 0

9 + √x+2 = x

Como resolver uma equação irracional:

Muito simples veja a equação:

√x+3 + x = 3

*Primeiro precisamos isolar o radical (se houver mais de um radical, escolha um e isola num dos membros da equação)

√x+3 = 3 - x

* Agora precisamos elevar os dois membros da equação de acordo com o índice do radical ( no caso vamos elevar ao quadrado, pois o radical esta ao quadrado.)

(√x+3)² = (3 - x)² --> [Quadrado pela diferença de dois termos].
x + 3 = 9 - 6x + x²

* Vamos organizar

0 = x² - 6x + 9 - x - 3 =
0 = x² - 7x + 6

OBS: Se na primeira vez que elevarmos a equação ao quadrado, continuar a existir a raiz quadrada, ela deve ser isolada e a equação será novamente elevada ao quadrado quantas vezes forem necessárias até que não exista mais nenhum radical.

* Vamos resolver a Equação atravez da formula de Bháskara



Δ = (-7)² - 4.1.6

Δ = 49 - 24

Δ = 25

x = 7 ±√25/2.1 =

x' = 7+5/2 = 12/2 = 6
x'' = 7-5/2 = 2/2 = 1

Achamos x' e x'', só que ainda não é o bastante, temos que fazer a verificação pois, ainda não sabemos quais os valores verdadeiros, para isso vamos verificar de uma maneira simples, basta substituir a icognita da equação "x" pelo resultado veja:

• verificando x = 1
√1+3 + 1 = 3
√4 + 1 + 3
2 + 1 = 3
3 = 3 -> VERDADEIRO
• verificando x = 6
√6+3 + 6 = 3
√9 + 6 = 3
3 + 6 = 3
9 = 3 -> FALSO

1 é a solução da equação

S = {1}

VEJA MAIS EXEMPLOS:
√x-1 = 3 - x
(√x-1)² = (3 - x)²
x - 1 = 9 - 6x + x²
0 = 9 - 6x + x² - x + 1
0 = x² - 7x + 10 -> equação do 2º grau

Resolvendo atravez de Bhaskara achamos x' = 2 e x'' = 5

*Verificando x = 2:
√2-1 = 3 - 2
√1 = 1
1 = 1 (V)
*Verificando x = 5:
√5-1 = 3 - 5
√4 = -2
2 = -2 (F) S = {2}


4 - x = √x+2
(√x+2)² = (4 - x)²
x + 2 = 16 - 8x + x²
0 = 16 - 8x + x² - x - 2
0 = x² - 9x + 14 -> Equação do 2º grau

Resolvendo atravez de bhaskara achamos x' = 2 e x'' = 7

*Verificando x = 2:
4 - 2 = √2+2
2 = √4
2 = 2 (V)
*Verificando x = 7:
4 - 7 = √7+2
-3 = √9
-3 = 3 (F) S = {2}


√x²-6x+16 = 2√2
(√x²-6x+16)² = (2√2)²
x² - 6x + 16 = 4.2
X² - 6x + 16 - 8 = 0
x² - 6x + 8 = 0 -> Equação do 2º grau

Resolvendo atravez de Bhaskara acharemos x' = 2 e x'' = 4

*Verificando x = 2:
√(2)²-6.(2)+16 = 2√2
√4-12+16 = 2√2
√8 = 2√2
2√2 = 2√2 (V)
*Verificando x = 4
√(4)²-6.(4)+16 = 2√2
√16-24+16 = 2√2
√8 = 2√2
2√2 = 2√2 S = {2,4}


√7x-3 - 1 = x
√7x-3 = x + 1
(√7x-3)² = (x + 1)²
7x - 3 = x² + 2x + 1
0 = x² + 2x + 1 - 7x +3
0 = x² - 5x + 4 -> Equação do 2º grau

Resolvendo atravez de Bhaskara achamos x' = 1 e x'' = 4

*verificando x = 1
√7-3 - 1 = 1
√4 - 1 = 1
2 - 1 = 1
1 = 1 (V)
*Verificando x = 4
√7.(4)-3 - 1 = 4
√28-3 - 1 = 4
√25 - 1 = 4
5 - 1 = 4
4 = 4 (V) S ={1,4}


√x²-9 = √x+11
(√x²-9)² = (√x+11)²
x² - 9 = x + 11
x² - x - 20 =0

Resolvendo atravez de Bhaskara achamos x' = -4 e x'' = 5

*Verificando x = -4
√(-4)²-9 = √-4+11
√16-9 = √7
√7 = √7 (V)
*Verificando x = 5
√(5)²-9 = √5+11
√25-9 = √16
√16 = √16 (V) S = {-4,5}


ASSUNTOS Pré Requisitos: Necessarios para entender equações irracionais
- As quatro operações
- As quatro operações com numeros inteiros
- Produtos Notáveis
- Potenciação e mudanças de indice
- Operações com radicais: Adição, subtração
- Multiplicação e divisão com radicais
- Potencia com radicais
- Equações do 1º e 2º grau
- Noções de soma e produto de equação do 2º grau