Ao existirem raízes reais na resolução de equações do 2º grau, podemos relacionar essas raízes: soma (x’ + x”) e produto (x’ . x”).
Vejamos abaixo:
SOMA
Somando as duas raizes x' + X'' = -b/a
PRODUTO
Multiplicando as duas raízes: x' . x'' = c/a
Na verdade soma e produto é outra forma mais eficaz que temos para achar as raizes de uma equação (x' e x").
Por exemplo: Para encontrar a soma e o produto das raizes da equação x² - 7x + 10 = 0 nãó é necessarios que saibamos seu valor, mais sim seus coeficientes.
a = 1
b = -7
c = 10
x' + x'' = -b/a
x'. x'' = c/a
x' + x'' = 7/1
x' . x'' = 10/1
Soma= x' + x'' = 7 Produto = x' . x'' = 10
Portanto a soma = 7 e o produto = 10. Em tentativas podemos encontrar números que multiplicados resultem em 10 e somados resultem em 7. VEJA:
ACHANDO AS RAIZES DE UMA EQUAÇÃO DO 2º GRAU ATRAVEZ DE SOMA E PRODUTO
x² - 5x + 6 = 0 [**OBS: a SOMA (no caso o 5) troca o sinal sempre]
P = +6 / x' . x'' = 2.3 = 6
S = +5 / x' + x'' = 2 + 3 = 5
Veja que em tentativas eu consegui achar dois numeros que multiplicados são 6 e somados são 5.
PORTANTO: x' = 2
x'' = 3
IMPORTANTE: Existem casos especiais em que o Produto da equação vem com sinal negativo, o que significa que os resultados das raizes virão com um sinal positivo, e a outra com um sinal negativo, isso quem dirá será a soma (o sinal da soma ira ser o mesmo do maior numero das raizes) EX:
x² + 2x - 3 = 0
S = -2 (**soma sempre troca o sinal)
P = -3
O numero que pode ser multiplicado e que ao mesmo tempo somado para chegar aos resultados acima são: 3 e 1 (verifique para ter certeza)... Como 3 é o maior numero ele recebera o sinal da Soma ficando: -3, (Relembrando que quando o Produto tem o inal negativo, os resultados serão um negativo e o outro positivo, e quem determinará isso é a Soma):
x' = -3
x'' = 1
x' . x'' = -3 . 1 = -3
x' + x'' = -3 + 1 = -2
VEJA MAIS EX:
x² - 12x + 35 = 0
procurando dois numeros que multiplicados da 35 e somados 12 achei: 5 e 7
5 + 7 = 12
5 . 7 = 35
x' = 5 / x'' = 7
x² - 12x + 36 = 0
procurando dois numeros que multiplicados da 36 e somados 12 achei: 6 e 6
6 + 6 = 12
6 . 6 = 36
x' = 6 / x'' = 6
x² + 13x + 40 = 0
procurando dois numeros que multiplicados da 40 e somados -13 achei: -8 e -5
-8 - 5 = -13
(-8) . (-5) = 40
x' = -8 / x'' = -5
x² -8x + 16 = 0
procurando dois numeros que multiplicados da 16 e somados 8 achei: 4 e 4
4 + 4 = 8
4 . 4 = 16
x' = 4 / x'' = 4
ESCREVER UMA EQUAÇÃO DO 2ºGRAU ATRAVEZ DE SOMA E PRODUTO DAS RAIZES
Dado os valores das raizes:
x' = -8
x'' = 7
x' + x'' = -1
x' . x'' = 56
E a formula:
x² - Sx + P = 0
Então: x² + x - 56 = 0
Para achar uma equação atravez das raizes, é preciso usar a formula dada acima, e caucular a soma e o produto das raízes.
Veja mais ex:
x' = 2
x'' = 3
2 + 3 = 5 / 2 . 3 = 6
Equação: x² - 5x + 6 = 0
x' = 4
x'' = 2
2 + 4 = 6 / 2 . 4 = 8
Equação: x² -6x + 8 = 0
x' = -8
x'' = -5
-8 -5 = -13 / (-8). (-5) = 40
Equação: x² + 13x + 40
x' = -2
x'' = 11
-2 + 11 = 9 / -2 . 11 = -22
Equação: x² -9x - 22 = 0
x' = 6
x'' = 6
6 + 6 = 12 / 6 . 6 = 36
Equação: x² - 12x + 36 = 0
ASSUNTOS PRÉ-REQUISITOS -> São assuntos necessarios para entender o assunto acima.
- As 4 operações da matematica (básico)
- Operações com numeros inteiros
- Numeros Fracionarios
- Potenciação
- equação do 1º grau com uma icognita
- equação do 2º grau
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